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传输线介绍

2015年11月12日经过亚瑟安德森

解释传输线是什么，以及它存在的条件。使用总数元素模型来导出微分方程并操纵方程以获得电报方程。使用对电报方程的解决方程来获得特性阻抗和传播常数，并查看匹配和无与伦比的负载箱。

什么是传输线，为什么存在？找出！

当电路的物理尺寸接近信号的波长的大小时，电线和电路迹线开始影响电路性能。这是由于频率依赖性的效果，并且通常具有非常小的值，这些值是线性地取决于线/迹线长度。当频率和长度变得相当大，阻碍变得不可忽略不计。波长与线材长度的比率可以被认为低至0.01。

作为心智快捷方式，因此不必分析信号的谐波分量，将信号的上升时间与传播延迟进行比较。如果上升时间小于传播延迟的两倍，则必须考虑传输线效果。因此，如果电线或迹线的传播延迟是5ns，则由于传输线效应，具有小于10ns的上升时间的任何信号都会受到影响。

为了对此进行分析量化，考虑影响电路性能的熟悉的被动寄生剂：电感，电容，电阻和电导（L，C，R，G）。这些元素可以被认为是沿传输线的长度分布。对于初始简单性，模型是两个平行线，其中一个导体和一个地。

传输线分布式元素

用Kirchoff的电压法检查集总元素模型的一部分，并使用其值每单位长度的电路元件：

传输线模型

我们得到了等式：

$v(z,t)-R\cdot \Delta z\cdot i(z,t)-L\cdot \Delta z\cdot \frac{\partial i(z,t)}{\partial t}-v(z+\Delta z,t)=0\; \; \; \; \; \; \;(eq. 1)$

kirchoff目前与顶部有一个节点的集成元素模型的另一个分析，给出了等式：

$i(z,t)-G\cdot \Delta z\cdot v(z+\Delta z,t)-C\cdot \Delta z\cdot \frac{\partial v(z+\Delta z,t)}{\partial t}-i(z+\Delta z,t)=0\; \; \; \; \; \; \;(eq. 2)$

除以$$ \ delta z $$，并将极限作为$$ \ delta z \ lightarrow 0 $$（请注意最后一个术语成为衍生物）。

$-R\cdot i(z,t)-L\cdot \frac{\partial i(z,t)}{\partial t}-\frac{\partial v(z,t)}{\partial z}=0\; \; \; \; \; \; \;(eq.\; 3)$

$-G\cdot v(z,t)-C\cdot \frac{\partial v(z,t)}{\partial t}-\frac{\partial i(z,t)}{\partial z}=0\; \; \; \; \; \; \;(eq.\; 4)$

使用余弦相，简化公式3和4。

$\frac{\mathrm{d} V(z)}{\mathrm{d} z}=-(R+j\omega L)\cdot I(z)\; \; \; \; \; \; \;(eq.\; 5)$

$\frac{\mathrm{d} I(z)}{\mathrm{d} z}=-(G+j\omega C)\cdot V(z)\; \; \; \; \; \; \;(eq.\; 6)$

然后，我们可以同时解决这些等式，以找到I（z）和v（z）。

$\frac{\mathrm{d^2} V(z)}{\mathrm{d} z^2}-\gamma^2\cdot I(z)=0\; \; \; \; \; \; \;(eq.\; 7)$

$\frac{\mathrm{d^2} I(z)}{\mathrm{d} z^2}-\gamma^2\cdot V(z)=0\; \; \; \; \; \; \;(eq.\; 8)$

等式7和8通常称为电报方程。$$ \ gamma $$的地方复杂传播常数：

$\gamma =\sqrt{(R+j\omega L)(G+j\omega C)}\; \; \; \; \; \; \;(eq.\; 9)$

是单行，是频率的函数。

求解等式7和8用于I（Z）和V（Z）给予

$V(z)=V_0^+\cdot e^{-\gamma z}+V_0^-\cdot e^{\gamma z}\; \; \; \; \; \; \;(eq.\; 10)$

$I(z)=I_0^+\cdot e^{-\gamma z}+I_0^-\cdot e^{\gamma z}\; \; \; \; \; \; \;(eq.\; 11)$

在哪里$$ ^ { - \ omega z} $$考虑在正z方向上的传播和$$ e ^ {\ oomega z} $$用于反射在负方向上。如果eq。10插入EQ。8，我们可以得到这种关系

$I(z)=\frac{\gamma}{R+j\omega L}(V_0^+\cdot e^{-\gamma z}-V_0^-\cdot e^{\gamma z})\; \; \; \; \; \; \;(eq.\; 12)$

将术语与EQ中的术语进行比较。12与eq。11领导得出结论

$\frac{V_0^+}{I_0^+}=Z_0=\frac{-V_0^-}{I_0^-}\; \; \; \; \; \; \;(eq. 13)$

在这种情况下

$Z_0=\frac{R+j\omega L}{\gamma}=\sqrt{\frac{R+j\omega L}{G+j\omega C}}\; \; \; \; \; \; \;(eq. 14)$

并且被定义为特征阻抗传输线。

使用特性阻抗，我们可以在电压方面定义电流。

$I(z)=\frac{V_0^+}{Z_0}\cdot e^{-\gamma z}-\frac{V_0^-}{Z_0}\cdot e^{\gamma z}\; \; \; \; \; \; \;(eq. 15)$

利用清楚地定义为电路元件的传输线，现在可以在连接负载时分析。我们定义要位于Z = 0的负载以简化分析。

带负载的传输线

负载中的电流和电压可以通过负载缺点有关。使用等式10和15，在设置z = 0时，我们得到

$Z_L=\frac{V(0)}{I(0)}=\frac{V_0^++V_0^-}{V_0^+-V_0^-}\cdot Z_0 \; \; \; \; \; \; \;(eq. 16)$

重新排列，我们可以在已知值方面找到反射电压值

$V_0^-=\frac{Z_L-Z_0}{Z_L+Z_0}\cdot V_0^+\; \; \; \; \; \; \;(eq. 17)$

反射波与入射电压波的比率称为反射系数，$$ \ gamma $$

$\Gamma =\frac{V_0^-}{V_0^+}=\frac{Z_L-Z_0}{Z_L+Z_0}\; \; \; \; \; \; \;(eq. 18)$

应从EQ中观察到一个重要的案例。18.当负载阻抗匹配匹配传输线的特性阻抗时，反射系数$$ \ Gamma = 0 $$，并且没有反射波。此负载称为存在匹配到传输线。

以下是负载匹配如何影响传输线中的反射。

传输线中的反射

第一图表显示负载远小于$$ Z_0 $$时的迭代反射，第二个图示出了没有反射的负载匹配的传输线，第三个图显示了与Z0大于Z0的负载相同的传输线。

你有它 - 传输线的快速和肮脏的介绍！

下一篇文章串联：传输线：从集总元素到分布元素制度

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