adc的量化噪声和幅度量化误差

学习使用噪声源对ADC量化误差建模的方法和应用。

在之前的文章中ADC转换器的量化误差，我们观察到，在特定情况下，量化误差类似于噪声信号。我们还讨论了将误差项建模为噪声信号可以显著简化分析误差对系统性能影响的问题。

在本文中，我们将看看在什么情况下我们可以使用噪声源来模拟量化误差。然后，讨论量化噪声的统计模型，并利用它来分析量化误差。

什么时候噪声模型能产生有效的结果?

我们可以很容易地找到量化误差是可预测的并且不作为噪声源的例子。例如，如果量化器的输入是一个直流值，量化误差将是常数。作为另一个例子，假设输入的振幅总是在量化器的两个相邻的量化级别之间。在这种情况下，量化误差等于输入减去一个直流值。

另一种有趣的情况是，当输入是正弦信号，而量化器的采样频率是输入频率的倍数时。下面的图1展示了一个示例。

图1所示。图片由数据转换器．

图1的左曲线描述了10位量化正弦波的两个周期。右边的曲线表示量化误差。在这个例子中，采样频率与输入频率的比值是150。

量化误差的目视检查揭示了周期性行为(一个周期由橙色矩形表示)。正如你所看到的，输入和错误信号之间是有相关性的，而噪声源和输入是没有相关性的。在这种情况下，我们期望误差信号在输入的谐波处有相当大的频率分量。

在上面的例子中，误差信号不像噪声。然而，在许多实际应用中，如语音或音乐，输入是一个复杂的信号，并表现出以某种不可预测的方式发生的快速波动。在这种情况下，误差信号很可能成为噪声源。

实验测量和理论研究表明，当满足以下四个条件时，量化误差作为噪声源的建模是有效的:

1. 输入以相等的概率接近不同的量化级别值(在上面讨论的一些有问题的例子中，我们看到输入总是接近某些特定的量化级别)。
2. 量化误差与输入不相关。
3. 量化器有大量的量化级别(例如当我们有一个高分辨率ADC)。
4. 量化步骤是统一的(不像电话中使用的数据转换器具有对数特性)。

您可以在本书的第4.8.3节中找到表达这些条件的更正式的方式离散时间信号处理．

如果满足这些必要条件，我们可以用加性噪声源代替误差信号，如图2所示。这允许我们使用信噪比(SNR)等概念来描述量化误差的影响。然而，在此之前，我们需要找到噪声源的统计模型。

图2

量化噪声的统计模型

描述噪声源的第一步是估计给定值可能出现的频率。这种振幅分布可以通过长时间观察噪声信号并采样创建振幅直方图得到。直方图由若干箱组成，这些箱对应于跨越噪声振幅的整个可能范围的连续振幅间隔。容器的高度表示位于容器间隔内的样本数量。

让我们来看一个量化噪声直方图的例子。假设输入是离散余弦信号x[n]=0.99cos(n/10)(如图3所示)。

图3。图片由离散时间信号处理．

如果我们对这个信号应用一个八位量化器，量化误差序列将如图4所示。

图4。图片由离散时间信号处理．

量化噪声幅值分布

现在，我们从错误信号中抽取101,000个样本，构建一个带有101个bins的直方图，这些bins代表的振幅区间从-LSB/2到+LSB/2。

结果如下面的图5所示。

图5。图片由离散时间信号处理．

如你所见，LSB/2约为4×10^－3对于这个示例。

有趣的是，几乎相同数量的样本位于不同的仓间;箱子的高度接近于样本总数(101,000)除以箱子数量(101)。也就是说，噪声幅值均匀分布在±LSB/2之间。如果我们增加量化器的分辨率，我们会得到一个更均匀的振幅分布。这与有效噪声模型的第三个前提是一致的。

虽然我们检查了输入类型和量化器分辨率的特定情况下的直方图，但结果对量化误差作为噪声源的其他情况是有效的。因此，我们可以假设噪声幅值是均匀分布在±LSB/2之间的随机变量。

概率密度函数如图6所示。

图6

量化噪声可以取±LSB/2之间的值，概率密度函数在这个范围内是恒定的(即均匀分布)。由于概率密度函数的积分等于1，当-LSB/2 < e < LSB/2时，其值为1/LSB(见图6)。

现在，我们可以计算量化噪声的时间平均功率为

方程1

这个方程给出了当噪声信号均匀分布在±LSB/2之间时的量化噪声功率。如您所见，提高量化器的分辨率将降低LSB和噪声功率。注意，这个方程与我们(在前一篇文章中)为斜坡输入的量化误差获得的均方根值是一致的。

量化噪声功率谱密度

噪声源的另一个重要参数是功率谱密度，它反映了噪声功率在不同频段的扩展情况。为了得到功率谱密度，我们需要计算噪声的自相关函数的傅里叶变换。

假设噪声样本之间不相关，我们可以在时域用一个脉冲函数来近似自相关函数。由于函数的傅里叶变换等于1，功率谱密度与频率无关。因此量化噪声是总功率等于LSB的白噪声²/ 12。

为了求单侧功率谱密度，S_片面的(f)，在Nyquist区间(DC到f_抽样/2)，我们应该把噪声功率除以f_抽样/ 2。因此,

量化如何降低信噪比?

现在我们知道了量化噪声的功率和功率谱密度，我们可以使用图2的模型来分析量化过程。例如，假设我们有一个n位量化器，其全尺寸值用FS表示。如果我们将正弦信号$$\frac{FS}{2}sin(2\ ft)$$应用到量化器，量化器输出的信噪比将是什么?输出将是输入正弦信号加上量化过程产生的一些噪声。所要求的信号功率可计算为

量化噪声的功率由方程1给出。我们只需要用$$\frac{FS}{2^N}$$替换LSB。因此，噪声功率为

信噪比由下式给出:

代入值，我们得到

这导致了下面的表达式:

方程2

这是一个重要的方程，它允许我们确定当输入是具有最大可能振幅(FS/2)的正弦波时，理想n位量化器的最大信噪比。例如，根据公式2，我们知道10位ADC的最大信噪比约为60 dB。注意，每增加一位分辨率，信噪比就增加6.02 dB。

方程2只考虑了量化噪声。如果系统中存在其他噪声源，则信噪比将低于公式2预测的信噪比。例如，尽管我们预计10位ADC的信噪比约为60 dB，但来自电子元件的噪声可能导致较低的信噪比。假设这些额外的噪声源将我们的10位ADC的信噪比降低到55.94 dB。

在这种情况下，我们可以将ADC的信噪比代入式2，来确定ADC的有效分辨率，通常称为“有效比特数”(effective number of bits, ENOB)。

因此，如果10位ADC的信噪比为55.94 dB，则其ENOB为9位。

最后要注意的是，公式2是由假设感兴趣的频带是奈奎斯特区间推导出来的。如果输入信号的带宽低于奈奎斯特频率，我们可以从量化器输出中只选择感兴趣的频带，从而提高数据转换器的有效信噪比。

总结

• 在一定的假设下，我们允许将量化误差建模为噪声源。
• 量化噪声幅值是均匀分布在±LSB/2之间的随机变量。
• 在振幅分布均匀的情况下，量化噪声功率为$$\frac{LSB^2}{12}$$。
• 量化噪声的功率谱密度与频率无关(即白噪声)。
• 对于正弦波，我们可以找到理想n位量化器的最大信噪比为1.76+6.02N。

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