频域中的Nyquist-Shannon定理

在上一篇文章中介绍了Nyquist-Shannon定理当时以不提供每循环的至少两个样品的频率采样波形时，正弦损失的正弦频率特性是无可挽回地丢失的。换句话说，如果我们以低于奈奎斯特速率的频率样本，我们不能完全重建正弦曲线。

然而，大多数信号不是单频正弦曲线。例如，一个调制RF信号具有与载波和基带波形相关联的频率，并且表示人类语音的音频信号将覆盖一系列频率。

我们使用傅里叶变换可视化信号的频率内容。时域图是在单频信号的上下文中传达采样率不足效果的好方法，但是对于其他类型的信号，我宁可使用频域。

抽样的频域效应

假设我们希望将包括在指定范围内的许多不同频率的混合的音频信号进行数字化。该范围的高端定义为F._最大限度，我们假设该范围延伸到DC，即使我们无法听到低电平的频率。这种信号的傅里叶变换可能看起来像这样：

时域中的数学采样

在数学领域中，理想的采样相当于将原始时域波形乘以一列乘以一个等于1 / f的时间间隔的Δ函数的列车_样本，我们会打电话给t_样本。（对于剩下的文章，我们将使用f_S.对于F._样本和T_S.对于T._样本。）该乘法使采样信号在Delta函数之间归零，并在每个时间点保持原始信号的值，该时间点与Delta函数一致。

数学上实现的时域采样：我们将模拟信号乘以在采样频率上发生的Δfly的序列。

频域中的数学采样

该时域采样过程如何影响信号的频域表示？让我们来看看。

首先要记住的是时域中的乘法变为频域中的卷积。因此，我们可以通过将原始信号的傅立叶变换与Delta功能的傅立叶变换卷曲来找到采样信号的傅里叶变换。

事实证明，Delta-Function Strain的傅里叶变换是Δ功能列车。不同之处在于，Delta函数通过与采样对应的水平距离分隔频率而不是抽样时期。

由采样周期分离的ΔFiffer函数序列的频谱是由采样频率分离的一系列ΔFiffile。

当我们通过原始信号的频谱将Δ函数的频谱旋转时，我们创建根据Delta函数的位置移动的原始频谱的副本。因此，采样信号的频谱由多个相同的“子光线”组成，该“子谱”在±F中心_S.，±2f._S.，±3f._S.， 等等。

足够的采样频率导致亚峰值移动足以保持完全分离。

我们现在有信息我们需要通过频域分析确认奈奎斯语 - 香农理。正如我在上一篇文章中表达的那样，本定理如下：

如果系统以超过信号最高频率的速率均匀地对模拟信号均匀地采样，则可以从采样产生的离散值完全恢复原始模拟信号。

由于傅里叶变换的负频率部分，整个数学带宽原始信号是2F_最大限度。因此，为了确保子谱不重叠，我们必须至少将它们转移到至少2F_最大限度。换句话说，采样频率必须高于信号的最大频率至少为两个。

如果满足此条件，则可以完全重建原始信号。为什么？因为原始谱没有被改变，我们可以通过其他鸟局通过低通滤波。（下一篇文章将更详细地探讨这一点。）如果不满足条件，则鸟谱仪重叠，原始频谱被改变，没有多少低通滤波将恢复原始信号。

混叠

子光谱重叠是当我们使用低于奈奎斯特速率的采样频率时，信息已损坏的原因。子谱的重叠部分通过添加组合;如果我们尝试使用低通滤波器分离出原始频谱，则重叠频带中的频率内容将是不同的，因此相应的时域信号将是不同的。

官方名称是混叠。

棕色阴影的三角形区域表示引起光谱改变的锯齿。

名词“别名”的定义之一是“虚假或假设的身份”。我们使用术语“混叠”，因为该采样现象可以使一个频率分量转移到频谱中的新位置，从而“伪装”本身作为不同的频率。

我们在上一篇文章中看到了这一篇，其中在1.1f时抽样_信号导致离散时间波形，似乎具有远低于原始模拟波形的频率的频率。

结论

此时，我认为我们涵盖了抽样理论的基础方面。在下一篇文章中，我们将开始在理论和实践之间形成一些联系。