解决X值的这个方程式：
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上述等式有多少精确解决方案？
现在，确定一些不同的以下等式的解决方案：
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这个等式有多少精确解决方案？将此等式的解决方案绘制以下图：
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随访问题：在同一图表上找到x + 5 = 8的解决方案。
这个问题从具有一个解决方案的一个极其简单的等式开始，并逐一移动到具有无限次数的另一个简单方程。虽然正确答案的无限似乎是不可能合理地处理的，但是一个图表处理它很好，众多正确的答案对表示为具有无限长度的图表上的线。
将解决方案绘制到图形上的等式Y + x = 8：
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在相同的图表上，将解决方案绘制到等式Y - x = 3。两条线交叉的点的重要性是什么？
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两条线之间的交点点代表满足的一个解决方案集这两个方程式（其中x = 2.5和y = 5.5）。
这个问题的目的是温和地向学生介绍联立方程组的概念，在联立方程组中，一组解一次满足一个以上的方程。不过，在回答这个问题之前，学生理解绘图的基本概念是很重要的。
获得一个联立方程组的解实际上意味着什么?例如，如果2x + y = 7和x−y =−1，解的值是(x = 2;Y = 3)表示?
如果我们在笛卡尔(x, y)坐标系下画出这两个线性方程，解(2,3)会在图上的什么位置?
方程系统的解决方案表示满足该系统中的所有方程的值的唯一组合。对于两个可变系统，解决方案是两条线的交叉点。
许多学生难以掌握方程式系统的意义。讨论方程的含义，以及方程式，与学生讨论同时性的概念（一次满足所有方程式的解决方案）明确。
绘制等式y = x2在下图：
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在相同的图表上，绘制等式y = x + 2.两个曲线交叉的点的重要性是什么？
负载线是分析晶体管放大器电路的有用工具，但一开始可能很难理解。为了帮助你理解“负载线”是有用的，以及它们是如何确定的，我将应用一个简单的双电阻电路:
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我们将不得不为该简单的双电阻电路绘制负载线以及电阻器R的“特性曲线”1为了看到负载线的好处。装载线真的只有当用其他地块叠加时只有含义。首先，R的特征曲线1，定义为终端之间的电压/电流关系一个和B：
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接下来，我将绘制由1.5kΩ负载电阻定义的负载线。该“负载线”表示相同的两个端子之间可用的电压（VAB)作为负载电流的函数，以说明负载上的电压降:
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现值(IR1.）两条线相交吗？解释关于该电流值的重要意义。
我R= 8 mA是电流的相同值，您将计算您是否分析了此电路作为a简单系列电阻网络。
Follow-up question: you might be wondering, “what is the point of plotting a ‘characteristic curve’ and a ‘load line’ in such a simple circuit, if all we had to do to solve for current was add the two resistances and divide that total resistance value into the total voltage?” Well, to be honest, there is no point in analyzing such a simple circuit in this manner, except to illustrate如何负载线工作。我的后续问题是这样的：在哪里绘制负载线实际上有助于分析电路行为？您能认为对这两个电阻电路的任何修改都可以要求负载线分析，以便解决电流？
虽然这种电路分析方法看起来很愚蠢——使用负载线来计算双电阻电路中的电流——但它证明了负载线的原理，这对目前正在学习的学生来说应该是显而易见的。与你的学生讨论这两条线是如何得到的(一条是电阻R1另一个绘制r可用的电压1基于总源电压和负载电阻的值）。
并讨论两条直线相交的意义。从数学上讲，两个图的交点意味着什么?在联立函数系统中交点的坐标值代表什么?这个原理与电子电路有什么关系?
负载线是分析晶体管放大电路的有用工具，但它们也可以应用于其他类型的电路。以二极管电阻电路为例:
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二极管的特征曲线已经绘制在下图上。您的任务是在相同的图表上绘制电路的负载线，并注意两行相交的位置：
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这两个地块交叉路口的实际意义是什么？
假设您有以下两个方程，并要求找到X和Y的解决方案，这将满足这两个同时：
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如果我们操纵第二个等式以解决Y，我们将在X方面具有y的定义，我们可以在第一个等式中用于替换：
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显示替换到第一等式的过程，以及这将如何导致X的单个解决方案。然后，使用x的值来解决Y，从而导致解决方案设置有效这两个方程式。
如果Y + x = 8和y = x + 3，则（x + 3）+ x = 8.因此，
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该问题展示了代数替代的（许多）实际用途之一：解决方程的同时系统。
数学中有趣和有用的财产是传递性质：
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简单地说，如果它们都等于公共（第三）变量，则两个变量必须等于彼此。虽然范围并不特别深刻或令人叹为观止，但这一性质仍然有助于解决某些数学问题。
假设您有以下两个方程，并要求找到X和Y的解决方案，这将满足这两个同时：
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操纵这两个方程来解决Y，然后解释如何应用于X的传递原理。
如果8 - x = y和3 + x = y，则8 - x必须等于3 + x：
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X和Y的解决方案：
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这种求解二元联立方程组的方法，实际上不过是伪装的代换。然而，一些学生发现它比直接替换更容易掌握。
假设您有以下两个方程，并要求找到X和Y的解决方案，这将满足这两个同时：
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现在，你知道我们可以对任意一个方程做任何我们想做的事只要我们对等式两边做同样的事(在等号两边)这是我们在处理一个方程来解一个特定变量时所遵循的基本规则。例如，取方程y + x = 8，两边同时减x，得到一个以y表示的方程:
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在相同的原则之后，我们可能需要两个方程，并通过添加或减去双方来组合它们。例如，我们可以采用等式y - x = 3并将其两侧添加到第一等式Y + x = 8的各个侧面：
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这一行动有什么有益的结果？换句话说，如何使用这个新的等式2y = 11来解决满足原始方程的x和y的值？
我们可以用结果(2y = 11)来解出y的值，当代入原方程时，可以用来解出x的值来满足这两个同时的等式。
虽然对大多数人来说并不直观地显而易见，但是为了消除变量的目的，彼此添加两个整体方程的技术不仅可以执行，而且在寻找满足原始方程的解决方案时非常强大。与您的学生讨论为什么我们可以允许我们将Y-X到Y X添加到y x并加3到8.产生等式2Y = 11。
求同时满足下列两个方程的x和y值:
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X =−3 y = 6
随访问题：使用替换（在其中一个方程中求解一个变量并将其替换为其他方程）并加入（将两个方程组成为仅用一个未知的第三等式）来解决这个系统．
这里没有什么特别的——只是练习求解一个二元方程组。
求同时满足下列两个方程的x和y值:
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X = 5 y = -2
除了“钻”（练习）这里的任何东西。
求同时满足下列两个方程的x和y值:
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x = -2 y = 3
除了“钻”（练习）这里的任何东西。
如果我们希望为三个相关变量的值（即x y z = 0）来解决，我们在同时方程的“系统”中需要多少方程式？
以图形方式，解决方案集（x，y，z）表示具有三个变量的方程式的系统？
三个变量需要三个方程才能解。在图形上，解集代表了三个面积无限的平面相交的点。
要求您的学生将三个变量的场景和三方程对比两个变量和两个方程进行图示。在两个变量的两个等式系统中表示的解决方案集在哪里？我们从这种情况推断了多少我们涉及三个变量和三个方程的情况？
许多电路分析技术需要“线性方程系统”的解，有时称为“同步方程”。这个问题真的是解决同步线性方程的一系列实践问题，目的是使用各种解决方案技术（包括计算器的解决方案设施）为您提供大量的练习。
两个变量的系统：
| x + y = 5 | x - y = -6 | 2x + y = 7 |
| X−y = 1 | 2x - y = 4 | X−y = 2 |
| 3x−2y =−1 | −10x + 2y = 0 | 3x−5y =−13 |
| 5x + y = -6 | -3x - 5Y = -28 | -x + 2y = 5 |
| 1000x - 500Y = 0 | −15000x + 2200y =−66200 | 9100x - 5000y = 24 |
| 550x + 2500y = 5550 | 7900x - 2800Y = 28300 | −5200x−2700y =−6.5 |
三个变量的系统：
| x - y z = 1 | 3x + 2y - 5z = - 21 | x + y + z = 0 |
| -x - y + z = -1 | X−3y + z = 8 | 2x - y - 4z = -9 |
| x + y + z = 3 | -x - y - z = -12 | -2x + 2y - z = 12 |
| X + y−2z =−12 | -4x - 3Y + 2z = -32 | 19x - 6Y + 20z = -33 |
| 3x - 2Y + z = 19 | X−2y + 3z =−1 | 4x + 5y−3z =−17 |
| −4x + 3y−5z =−45 | -2x + 7y - z = 3 | -7x + 2y - 8z = 9 |
| 890x−1000y + 2500z =−1500 | 2750x - 6200Y + 4500z = 17500 |
| 3300x + 7200Y - 5100Z = 21500 | -10000x + 5300Y - 1000z = 8100 |
| -x + y - z = 0 | 6x−2y−3z = 5 |
两个变量的系统：
| x + y = 5 | x - y = -6 | 2x + y = 7 |
| X−y = 1 | 2x - y = 4 | X−y = 2 |
| x＝3.；y＝2 | x＝10.；y＝16. | x＝3.；y＝1 |
| 3x−2y =−1 | −10x + 2y = 0 | 3x−5y =−13 |
| 5x + y = -6 | -3x - 5Y = -28 | -x + 2y = 5 |
| x＝-1；y＝-1 | x＝1；y＝5 | x＝-1；y＝2 |
| 1000x - 500Y = 0 | −15000x + 2200y =−66200 | 9100x - 5000y = 24 |
| 550x + 2500y = 5550 | 7900x - 2800Y = 28300 | −5200x−2700y =−6.5 |
| x＝1；y＝2 | x＝5；y＝4 | x＝0．001924；y＝-0．001298 |
三个变量的系统：
| x - y + z = 1 | 3x + 2y - 5z = - 21 | x + y + z = 0 |
| -x - y + z = -1 | X−3y + z = 8 | 2x - y - 4z = -9 |
| x + y + z = 3 | -x - y - z = -12 | -2x + 2y - z = 12 |
| x＝1；y＝1；z＝1 | x＝4；y＝1；z＝7 | x＝-3.；y＝3.；z＝0 |
| X + y−2z =−12 | -4x - 3Y + 2z = -32 | 19x - 6Y + 20z = -33 |
| 3x - 2Y + z = 19 | X−2y + 3z =−1 | 4x + 5y−3z =−17 |
| −4x + 3y−5z =−45 | -2x + 7y - z = 3 | -7x + 2y - 8z = 9 |
| x＝2；y＝-4；z＝5 | x＝6；y＝2；z＝-1 | x＝-5；y＝3.；z＝4 |
| 890x−1000y + 2500z =−1500 | 2750x - 6200Y + 4500z = 17500 |
| 3300x + 7200Y - 5100Z = 21500 | -10000x + 5300Y - 1000z = 8100 |
| -x + y - z = 0 | 6x−2y−3z = 5 |
| x＝2．215.；y＝1．378.；z＝-0．8376. | x＝-5．171.；y＝-9．322.；z＝-5．794. |
我建议您让学生发现如何使用科学计算器的公式解决方案。我的经历一直是年轻人和旧的学生容易对此挑战，因为他们意识到学习如何使用他们的计算器会使他们拯救他们的手工巨大计算！
假设你需要选择一个固定的电阻值(R)来制作一个分压器电路，给定已知的电位器电阻值、源电压值和所需的调整范围:
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解出R，然后给出你建立的方程。
提示：记住串联电阻分压器配方。．．
$$ v_r = v_ {total}（\ frac {r} {r_ {total}}）$$
R = 20.588 kΩ
一定要让你的学生在全班同学面前建立方程式，这样每个人都能看到他们是怎么做的。有些学生可能会选择把欧姆定律应用到R的解上，这很好，但为了发展方程来适应问题，它可能不是最好的解。挑战你的学生想出一个单个方程式解出R，所有已知的量都在等号的另一边。
假设您需要选择电位计值（R）以使分压器电路进行分压器电路，给定已知的固定电阻值，源电压值和所需的调整范围：
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解出R，然后给出你建立的方程。
提示：记住串联电阻分压器配方。．．
$$ v_r = v_ {total}（\ frac {r} {r_ {total}}）$$
工程师需要计算两个电阻的值，以设置以下电位器电路的最小和最大电阻比:
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首先，写出每个电路的方程，说明电阻R1，R.2，10kΩ电位计组合以形成比率[a / b]。然后，使用用于解决同时方程来计算R的实际电阻值的技术1和R.2．
公共发射极晶体管放大器的电压增益近似等于通过发射电阻除以集电极电阻：
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知道这一点，计算下列固定值电阻器(R2）和电位计（r1）为了使该通用发射极放大器可调节电压增益范围为2至8：
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公共发射极晶体管放大器的电压增益近似等于通过发射电阻除以集电极电阻：
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知道这一点，计算下列定值电阻器(R1和R.2）为了使该通用发射器放大器可调节电压增益范围为4至7：
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R1=13.33kΩ.
R2=3.333kΩ.
让您的学生展示他们如何设置方程式，以解决两个电阻值。这是在课堂前面做的良好运动，所以每个人都可以看到（可能）的解决方案方法。
假设您需要选择两个电阻值，以使电压分压器具有有限的调节范围。其中一个电阻的值是固定的(R1)，而另一个则是可变的(连接一个电位器作为变阻器- R2）：
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设置一个同步方程式的系统来解决r1和R.2，并展示如何在每个解决方案到达。
提示：记住串联电阻分压器配方。．．
$$ v_r = v_ {total}（\ frac {r} {r_ {total}}）$$
R1(修正)= 4.286 kΩ
R2（锅）=19.048kΩ
后续问题：您将无法找到具有完全19.048kΩ的全范围电阻值的电位器。描述如何采用标准值电位器，并将其连接到一个或多个固定值电阻，以使其这种所需的全尺度范围。
一定要让你的学生在全班同学面前建立方程式，这样每个人都能看到他们是怎么做的。一些学生可能会选择将欧姆定律应用于两个电阻的解，这是好的，但为了发展方程来拟合问题的目的，这可能不是最好的解决方案。挑战你的学生想出一个方程组这解决了r1和R.2，然后使用用于解决方案的同时等式的技术来确定每个方程。
后续问题非常实用，因为找不到电位计是现成的全尺寸阻力的任意值。相反，您必须使用您可以找到的内容，通常是标称值，例如10kΩ，50kΩ，100kΩ等。
假设您需要选择两个电阻值以使分压器具有有限的调整范围：
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设置一个同步方程式的系统来解决r1和R.2，并展示如何在每个解决方案到达。
提示：记住串联电阻分压器配方。．．
$$ v_r = v_ {total}（\ frac {r} {r_ {total}}）$$
R1k = 5.25Ω
R2=2.25kΩ.
一定要让你的学生在全班同学面前建立方程式，这样每个人都能看到他们是怎么做的。一些学生可能会选择将欧姆定律应用于两个电阻的解，这是好的，但为了发展方程来拟合问题的目的，这可能不是最好的解决方案。挑战你的学生想出一个方程组这解决了r1和R.2，然后使用用于解决方案的同时等式的技术来确定每个方程。
用联立方程计算R的值1和R.2必要的是提供此分压器指定的调整范围：
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V出去(最小)= 3伏V出去（最大）= 8伏
R1= R.2＝
R1=2kΩ.
R2=3kΩ.
让您的学生在课堂上显示他们的解决方案方法，因此您可能会观察到解决问题的能力，并且他们可能会看到多种解决方法。
用联立方程计算R的值1和R.2必要的是提供此分压器指定的调整范围：
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V出去（最小）= 5伏出去（最大值）= 12伏特
R1= R.2＝
R1=4.2857kΩ.
R2=7.1429kΩ.
让您的学生在课堂上显示他们的解决方案方法，因此您可能会观察到解决问题的能力，并且他们可能会看到多种解决方法。
反相运算放大器电路的电压增益由反馈比率与输入电阻的比率定义：
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计算r的必要值1和R.2为了将该opamp电路的最小和最大电压增益限制为5和30，在中间的电位计，全跨度电阻为5kΩ：
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R1=1.2kΩ.
R2=31kΩ.
这是在模拟电路设计中使用同步方程的一个非常实际的例子。
计算r的必要值1和R.2限制该opamp电路的最小和最大电压增益分别为10和85：
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