时间常数的计算

学习数学分析电路需要大量的学习和实践。通常情况下，学生通过做大量的例题并对照课本或老师提供的答案进行练习。虽然这很好，但还有更好的方法。

事实上，你会学到更多建立和分析实际电路，让您的测试设备提供“答案”，而不是书本或其他人。要成功进行电路构建练习，请遵循以下步骤：

1. 在电路建造前仔细测量和记录所有元件的值。
2. 绘制待分析电路的原理图。
3. 在面包板或其他方便的介质上仔细地构造这个电路。
4. 检查电路构造的准确性，沿着每根电线到每一个连接点，并在图上逐个验证这些元件。
5. 对电路进行数学分析，求出所有的电压、电流等值。
6. 仔细测量这些量，以验证你分析的准确性。
7. 如果有任何实质性的错误(大于几个百分点)，仔细检查你的电路结构与图表，然后仔细地重新计算值和重新测量。

避免非常高和非常低的电阻值，以避免仪表“负载”引起的测量误差。我建议电阻在1K之间Ω 和100KΩ, 当然，除非电路的目的是说明仪表负载的影响！

节省时间和减少出错可能性的一种方法是，从一个非常简单的电路开始，然后在每次分析后逐步添加组件以增加其复杂性，而不是为每个实践问题构建一个全新的电路。另一种节省时间的技术是在各种不同的电路配置中重复使用相同的组件。这样，您就不必重复度量任何组件的值。

在RC或LR电路中，变量随时间的衰减遵循以下数学表达式:

哪里

e =欧拉常数(≈2.718281828)

t =时间，单位为秒

τ=电路的时间常数，以秒为单位

例如，如果我们计算这个表达式并得到一个0.398的值，我们就会知道这个变量在指定的时间段内已经从100%衰减到39.8%。

然而，计算衰减变量达到指定百分比所需要的时间是比较困难的。我们需要处理这个方程来解出t，它是指数的一部分。

说明如何对下列方程进行代数运算来求解t，其中x是0到1(包括)之间的数字，表示所述变量的原始值的百分比:

注意:这里的“诀窍”是如何分离指数[(−t)/(τ)]。你必须使用自然对数函数!

重写这个数学表达式，使指数项(- x)不再为负:

另外，描述在给定x的任何特定值时，计算这个表达式所需的计算器击键序列。

在一次聚会上，你碰巧注意到一位数学家在看摆着几个比萨饼的餐桌时记笔记。走到她跟前，你问她在做什么。她告诉你，“我正在用数学建模来计算比萨饼的消费量。”在你有机会问另一个问题之前，她把笔记本放在桌上，然后找借口她自己去上厕所。

看看记事本，你会看到下面的公式:

哪里

t =披萨到货后几分钟的时间。

问题是，你不知道她写的方程式是描述吃了比萨饼的百分比还是桌子上剩余比萨饼的百分比。解释您将如何确定此等式描述的百分比。确切地说，你如何判断这个等式描述的是已经吃的比萨饼的数量还是剩下的比萨饼的数量？

以下两个表达式常用于计算中变化变量（电压和电流）的值RC和LR定时电路：

其中一个表达式描述了RC或LR电路中一个变化值的百分比已经从一开始。另一个表达式描述同一变量的距离已经离开在达到其最终值之前（t=∞).

问题是，哪个表达式代表了哪个量?这往往是一个令人困惑的地方，因为学生倾向于通过死记硬背，试图将这些表达式与数量联系起来。表达式e^{−(t /(τ))}表示变量已更改的数量，或在稳定之前还有多远？另一个表达式呢− E^{−(t /(τ))}？更重要的是,我们如何才能弄清楚这一点，从而不必依赖记忆？

图两电容电压(V_C)和电容电流(I_C)随着时间的推移，在这个电路中开关是闭合的。假设电容器开始处于完全不带电状态(0伏):

然后，选择并修改合适的等式形式(从下)来描述每个地块:

下面的电路允许电容器快速充电和缓慢放电:

假设开关在“充电”的位置停留了相当长的一段时间。然后，有人将开关移动到“放电”位置，让电容器放电。在移动开关到“放电”位置后精确计算电容电压和电容电流的数量。

V_C＝

@ t = 3秒

我_C＝

@ t = 3秒

同时，显示出电路中放电电流的方向。

下面的电路允许快速放电和缓慢充电的电容器：

假设开关在“放电”位置停留相当长的一段时间。然后，有人将开关移动到“充电”位置，让电容器充电。在移动开关到“充电”位置后精确地计算电容电压和电容电流的量。

V_C＝

@ t = 45毫秒

我_C＝

@ t = 45毫秒

定性地确定在这个简单的RC电路中三个不同时间:(1)开关关闭前，(2)开关接触的瞬间，(3)开关闭合很长时间后，所有组件的电压以及通过所有组件的电流。假设电容器开始处于完全放电状态:

定性地表达你的答案:“最大值”、“最小值”或者“零”，如果你知道是这样的话。

在开关闭合之前：

V_C＝

V_R＝

V_转换＝

我=

在开关闭合的瞬间：

V_C＝

V_R＝

V_转换＝

我=

在开关关闭很久之后:

V_C＝

V_R＝

V_转换＝

我=

提示：图表可能是确定答案的有用工具！

定性地确定所有元件的电压以及通过所有元件的电流简单的LR电路在三个不同的时间:(1)开关即将关闭时，(2)开关接触接触的瞬间，(3)开关已经关闭很长时间后。

定性地表达你的答案:“最大值”、“最小值”或者“零”，如果你知道是这样的话。

在开关闭合之前：

V_l＝

V_R＝

V_转换＝

我=

在开关闭合的瞬间：

V_l＝

V_R＝

V_转换＝

我=

在开关关闭很久之后:

V_l＝

V_R＝

V_转换＝

我=

提示：图表可能是确定答案的有用工具！

当开关在左边时，计算通过电感的最终电流值(假设许多时间常数的值已经过去):

现在，假设开关是立即移到右边的位置。电感最初会降多少电压?

解释为什么这个电压与电源电压有很大的不同。这样的电路有什么实际用途呢?

许多新生都有一个不幸的倾向，那就是当面对一个时间常数电路问题时，在仔细考虑电路之前，就立即把数字代入方程。解释为什么遵循以下步骤是非常明智的之前执行任何数学计算：

步骤1：确定并列出所有已知（“给定”）数量。

第二步：如果没有给你，画一个电路原理图。

步骤3：使用所有已知数量在原理图中标记元件。

步骤4:勾勒出你期望电路中变量随时间变化的大致图。

步骤5：尽可能标记这些图形化变量的起始值和最终值。

假设一个电容器被充电到正好100伏特的电压，然后连接到一个电阻器，使其放电缓慢。计算在以下时间点电容端子上的剩余电压量:

连接电阻后1时间常数(τ):

连接电阻器后2个时间常数(2τ):

连接电阻后的3个时间常数(3τ):

连接电阻后的4个时间常数(4τ):

连接电阻后5个时间常数(5τ):

计算通过10 k放电后470μF电容器上的电压Ω 如果电容器的原始电压（t=0时）为24伏，则电阻持续9秒。

同时，用多少来表示时间(9秒)时间常数运行。

计算电流通过250 mH电感“充电”后，通过串联电阻100 Ω的电阻6毫秒，由12伏电池供电。假设电感是完美的，没有内部电阻．

同样，用多少来表示这个时间(6毫秒)时间常数运行。

确定电容器电压在指定的时间(时间t = 0毫秒是开关接触关闭的确切时刻)。假设电容器开始处于完全放电状态:

时间 VC（伏特） 0毫秒 30岁的女士 60毫秒 90毫秒 120毫秒 150毫秒

在此电路中，在开关闭合后的至少4个时间常数值的时间内，绘制电容器电压和电容器电流随时间的变化曲线:

一定要标记图形的轴!

绘制电感器在此电路中，开关闭合后电压和电感电流随时间的变化，时间值至少为4个时间常数:

一定要标记图形的轴!

计算一个33 μF电容从0伏充电到20伏所需的时间，如果由一个24伏的电池通过10kΩ电阻供电。

确定开关闭合后所需的时间为电容器电压(V_C)要达到规定的水平：

VC 时间 0伏 10伏 20伏 30伏 40伏

追踪电路中电子流的方向，并标记所有电压极性。

一个简单的延时继电器电路可以使用一个大的电容器与继电器线圈并联，在主电源断开后暂时为继电器线圈供电。在下面的电路中，按下按钮开关会响喇叭，在松开按钮后喇叭会保持短时间的亮:

要计算按钮开关释放后喇叭继续亮着的时间，我们必须了解继电器本身的一些情况。由于继电器线圈对电容器起阻性负载的作用，我们必须知道线圈的电阻(欧姆)。我们还必须知道继电器“退出”时的电压(即线圈上的电压过低，不足以维持足够强的磁场使继电器触点闭合)。

假设电源电压为24伏，电容为2200 μF，继电器线圈电阻为500 Ω，线圈降电压为6.5伏。计算延迟将持续多长时间。

设计一个实验，根据电容器在时间常数电路中的响应来计算电容器的大小。在你的设计中包括一个公式，根据运行实验获得的数据，给出以法拉为单位的电容值。

分析RC时间常数电路的一个有用的技术是考虑什么最初的和最后电路变量(电压和电流)的值为。考虑以下四种RC电路:

在每一个电路中，确定通过电容器和(标记的)电阻的电压和电流的初始值。这些将是开关在原理图中显示的第一时间改变状态时的电压和电流值。同时，确定相同变量的最终值(在足够长的时间后，所有变量都将“确定”为它们的最终值)。电容器的初始电压在任意情况下都显示出来。

分析LR时间常数电路的一个有用的技术是考虑什么最初的和最后电路变量(电压和电流)的值为。考虑以下四种LR电路:

在每一个电路中，确定通过电感和(标记)电阻的电压和电流的初始值是多少。这些将是开关在原理图中显示的第一时间改变状态时的电压和电流值。同时，确定相同变量的最终值(在足够长的时间后，所有变量都将“确定”为它们的最终值)。

假设所有电感器都是理想的，没有线圈电阻(R_线圈= 0 Ω).

在RC或LR电路中，我喜欢用一个公式来计算电压和电流值，它有两种形式，一种是电压，一种是电流:

“0”下标表示时刻= 0 (V₀或者我₀，表示该变量的“初始”值。“f”下标表示如果允许电压或电流无限增长，将达到的“最终”或“最终”值。显然，为了使用这两个公式中的任何一个，必须知道如何确定“初始”和“最终”值，但一旦你这样做了，你将能够计算任何电压和任何目前在任何在RC或LR电路中。

学生们不太清楚的是每个公式是如何起作用的。具体来说，它的每一部分在实践中代表什么?这是你的任务:用你自己的话来描述方程的每一个术语的意思。我将列出“电压”公式的术语分别供您定义:

确定开关从上位置移动到下位置三秒后电容两端的电压，假设开关在上位置停留了很长时间:

计算开关触点在开关打开时的电压，以及开关打开15毫秒后的电压:

在时间恒定电路(RC或LR)中，一个变量(电压或电流)的衰减遵循以下数学表达式:

哪里

e =欧拉常数(≈2.718281828)

t =时间，单位为秒

τ=电路的时间常数，以秒为单位

给定一个电路时间常数(τ)为1秒，计算当t增加时这个表达式的值。将这个值表示为a百分比：

T = 1秒

T = 2秒

t=3秒

T = 4秒

T = 5秒

t=6秒

T = 7秒

T = 8秒

t=9秒

T = 10秒

根据你的计算，当t增加时，你如何描述表达式值随时间的变化?

在时间恒定电路(RC或LR)中，一个变量(电压或电流)的衰减遵循以下数学表达式:

哪里

e =欧拉常数(≈2.718281828)

t =时间，单位为秒

τ=电路的时间常数，以秒为单位

给定电路时间常数(τ)为2秒，计算当t增加时这个表达式的值。将这个值表示为a百分比：

T = 1秒

T = 2秒

t=3秒

T = 4秒

T = 5秒

t=6秒

T = 7秒

T = 8秒

t=9秒

T = 10秒

同时，表示任意的百分比值增加在相同的条件下(相同的时间，相同的时间常数)，RC或LR充电电路中的变量(电压或电流)。

写一个数学表达式来计算任意的百分比值增加RC或LR时间常数电路中的变量（电压或电流）。

提示：用于计算任何减少在RC或LC时间常数电路中的变量如下:

哪里

e =欧拉常数(≈2.718281828)

t =时间，单位为秒

τ=电路的时间常数，以秒为单位

在这里，表达式的值在时间= 0时从1(100%)开始，在时间接近∞时接近0(0%)。我要你们推导的是一个相反的方程:当时间为0时，方程的值为0当时间为∞时，方程的值为1。

在无功电路中使用时间常数公式计算变量可能是耗时的，因为所有的按键都必须在计算器上。更糟糕的是没有计算器!但是，您应该准备在没有计算器的情况下估计电路值，因为在您需要计算器的时候，计算器可能并不总是可用的。

请注意，欧拉常数（e）约等于3。这不是一个近似值，但足够接近“粗略”估计。如果我们使用一个值3而不是e的真值2.718281828…，我们可以大大简化“衰减”时间常数公式：

假设一个电容放电电路开始时充满10伏特的电压。假设τ = 1秒，计算电容器在以下几次放电时的电压:

t=0秒；E_C＝

T = 1秒;E_C＝

T = 2秒;E_C＝

T = 3秒;E_C＝

t=4秒；E_C＝

T = 5秒;E_C＝

不使用计算器，您至少应该能够计算电压值为分数如果不是小数!

在无功电路中使用时间常数公式计算变量可能是耗时的，因为所有的按键都必须在计算器上。更糟糕的是没有计算器!但是，您应该准备在没有计算器的情况下估计电路值，因为在您需要计算器的时候，计算器可能并不总是可用的。

请注意，欧拉常数（e）约等于3。这不是一个近似值，但足够接近“粗略”估计。如果我们使用一个值3而不是e的真值2.718281828…，我们可以大大简化“递增”时间常数公式：

假设电容充电电路开始完全放电（0伏），并充电至10伏的极限值。假设τ=1秒，计算电容器放电时以下时间的电压：

t=0秒；E_C＝

T = 1秒;E_C＝

T = 2秒;E_C＝

T = 3秒;E_C＝

t=4秒；E_C＝

T = 5秒;E_C＝

不使用计算器，您至少应该能够计算电压值为分数如果不是小数!

确定7.5秒在下列各无功电路中所等于的时间常数τ的个数:

RC电路;R = 10 kΩ， C = 220 μF;7.5秒=

RC电路;R = 33 kΩ， C = 470 μF;7.5秒=

RC电路;R = 1.5 kΩ， C = 100 μF;7.5秒=

RC电路；R=790Ω, C=9240nF；7.5秒=

RC电路;R = 100 kΩ， C = 33 pF;7.5秒=

LR电路;R = 100 Ω， L = 50 mH;7.5秒=

LR电路；R=45Ω, L=2.2小时；7.5秒=

LR电路;R = 1 kΩ， L = 725 mH;7.5秒=

LR电路;R = 4.7 kΩ， L = 325 mH;7.5秒=

LR电路;R = 6.2 Ω， l = 25 h;7.5秒=

在一次聚会上，你碰巧注意到一位数学家在看摆着几个比萨饼的餐桌时记笔记。走到她跟前，你问她在做什么。她告诉你，“我正在用数学建模来计算比萨饼的消费量。”在你有机会问另一个问题之前，她把笔记本放在桌上，然后找借口她自己去上厕所。

看看记事本，你会看到下面的公式:

哪里

t =披萨到货后几分钟的时间。

问题是，你不知道她写的方程式是描述吃了比萨饼的百分比还是桌子上剩余比萨饼的百分比。解释您将如何确定此等式描述的百分比。确切地说，你如何判断这个等式描述的是已经吃的比萨饼的数量还是剩下的比萨饼的数量？

下面是RC和LR定时电路中常用的可变变量(电压和电流)的计算公式:

如果我们计算这个表达式的时间t=0，我们会发现它等于1（100%）。如果我们计算这个表达式的时间值越来越大（t→ ∞), 我们发现它接近于0（0%）。

基于这个简单的分析，你认为表达式e^{−(t /(τ))}描述一个变量在一个定时电路中从其初始值变化的百分比，或它所具有的百分比左在它达到最终值之前改变吗?为了用图解的方式来解释这个问题…

表达式e的百分比是多少^{−(t /(τ))}代表每一种情况?解释你的答案。

在指定时间（时间t=0毫秒，即开关触点闭合的确切时刻）确定电容器电压和电容器电流。假设电容器开始处于完全放电状态：

时间 VC（伏特） 我C(马) 0毫秒 30岁的女士 60毫秒 90毫秒 120毫秒 150毫秒

确定在指定时间(t = 0毫秒为开关触点闭合的精确时刻)时的电感电压和电感电流:

时间 Vl（伏特） 我l(马) 0μs 10μs 20μs 30μs 40μs 50μs

确定在指定时间(t = 0毫秒为开关触点闭合的精确时刻)时的电感电压和电感电流:

时间 Vl（伏特） 我l(马) 0纳秒 250纳秒 500纳秒 750纳秒 1.00μs 1.25μs

完成此电感电压和电流值表。将time = 0作为开关闭合的精确时刻:

时间(μs) Vl(V) 我l(马) 0 50 100 150 200 250 300 350 400

计算2.5 H电感通过串联电阻“充电”75毫秒后的电压，电阻为50 Ω，由6伏电池供电。假设感应器的内阻为14 Ω。

同样，用多少来表示这个时间(75毫秒)时间常数运行。

提示:在你的分析中，画出这个电路的示意图将电感的电感和14欧姆的电阻显示为两个独立的(理想的)组件会很有帮助。将一个元件的寄生特性看作是同一电路中的一个独立元件，这是电气工程中很常见的分析技术。

计算一个10 μF电容从18伏放电到7伏所需的时间，如果它的最终(最终)电压完全放电时将是0伏，并且它通过22kΩ电阻放电。

确定开关闭合后所需的时间为电容器电压(V_C)要达到规定的水平：

VC 时间 0伏 5伏特 -10伏 -15伏 -19伏

当电容器充电时，跟踪电路中电流的方向，并确定你是使用电子流还是传统的流量表示法。

注意:电压被指定为负值，因为在这个特定的电路中，电压相对于(正的)地是负的。

确定电容器电压（V）所需的时间量_C)，当开关被抛出到“放电”位置后，假设它已经被充满电池电压:

VC 时间 10伏 8伏特 6伏 4伏 2伏

追踪电路中电子流的方向，并标记所有电压极性。

潜艇声纳系统使用并联电容器的“组”来存储向传感器（某种“扬声器”）发送短暂、强大的电流脉冲所需的电能。这会在水中产生强大的声波，然后用于回声定位。电容器组使潜艇上的发电机和配电线路免于承受巨大的浪涌电流。发电机涓流对电容器组充电，然后电容器组在需要时将其储存的能量快速转储到传感器：

正如你可能想象的那样，这样的电容器组是致命的，因为涉及的电压相当高，浪涌电流容量是巨大的。即使当直流发电机断开时(使用原理图中所示的“拨动”断开开关)，电容器也可能在许多天内保持致命的电荷。

为了帮助降低在该系统工作的技术人员的安全风险，“放电”开关与电容器组并联，当发电机断开开关断开时自动提供放电电流路径:

假设电容器组由四十个并联的1500μF电容器组成（我知道示意图上只显示了三个，但是…），放电电阻为10 kΩ 在尺寸上。计算电容器组放电至其原始电压10%所需的时间，以及一旦断路开关断开且放电开关闭合，电容器组放电至其原始电压1%所需的时间。

的555型集成电路是一种非常流行和有用的“芯片”，用于电子电路中的定时。该电路定时功能的基础是电阻-电容（RC）网络：

在这种配置中，“555”芯片作为一个振荡器：在“高”（全电压）和“低”（无电压）输出状态之间来回切换。其中一种状态的持续时间由电容器通过两个电阻器（R）的充电动作设定₁和R₂串联）。另一种状态的持续时间由通过一个电阻器（R）放电的电容器设定₂)：

显然，充电时间常数必须是τ_负责= (R₁R₂)C，放电时间常数为τ_放电= R₂C.在每一种状态下，电容器充电或放电的方式的50%之间的起始值和最终值(通过555芯片的工作方式)，所以我们知道表达式e^{[(−t) /(τ)]}= 0.5，或50%。

开发两个方程式，用于预测555定时器电路的“充电”时间和“放电”时间，以便为特定延时设计此类电路的任何人都知道要使用什么电阻和电容值。

脚注:

对于那些必须知道为什么，555定时器在这个配置是为了保持电容器电压之间的循环¹/_3.电源电压和²/_3.电源电压的变化。所以，当电容器从¹/_3.V_CC其(最终)值的全电源电压(V_CC)，使这个充电循环中断²/_3.V_CC由555芯片构成充电的中间点，自²/_3.之间的一半¹/_3.和1。放电时，电容器开始在²/_3.V_CC并在¹/_3.V_CC从起点到(最终)终点，这又占了50%
．

计算电容器在开关移动到“电荷”位置的瞬间的电压变化率([dv/dt])。假设在这个动作之前，开关已经在“放电”位置停留了一段时间:

计算电感在开关移动到“电荷”位置的瞬间的电流变化率([di/dt])。

微分方程可用来模拟RC电路的充电行为。以这个简单的RC电路为例:

我们可以建立一个基于基尔霍夫电压定律，知道电源的电压是恒定的(30伏特)，并且通过电容器和电阻的电压降是V_C＝^问/_C和V_R= IR,分别为:

为了把它变成一个真正的微分方程，我们必须把其中一个变量表示成另一个变量的导数。在这种情况下，定义I为Q的时间导数是有意义的:

设初始条件Q = 0, t = 0时，该微分方程的特解为:

同时，以一种形式展示这个解决方案，它解决了电容电压(V_C)代替电容充电(Q)。

微分方程可用来模拟L/R电路的充电行为。以这个简单的L/R电路为例:

我们可以建立一个基于基尔霍夫电压定律的回路方程，知道电源的电压是恒定的(40伏特)，并且通过电感和电阻的电压降是V_l= L[dI/dt]和V_R= IR,分别为:

设初始条件为t = 0时，该微分方程的特解为:

假设该电路中的开关每5秒拨动一次(开关位置)，从时间t = 0时的“上”(充电)位置开始，此时电容开始处于完全放电状态。确定每个开关开关处的电容电压:

时间 开关动作 VC（伏特） 0 放电→电荷 0伏 5 s 充电→放电 十年代 放电→电荷 15秒 充电→放电 20年代 放电→电荷 25秒 充电→放电

这个无源积分器电路由一个方波电压源供电(以2 kHz的频率在0伏到5伏之间振荡)。确定输出电压(v_出来)，假设电容器在第一次跃迁(从0伏到5伏)时开始处于完全放电状态:

过渡 v出来 #1(0→5伏) 0伏 #2(5→0伏) #3(0→5伏) #4(5→0伏) #5(0→5伏) #6(5→0伏) #7(0→5伏) #8(5→0伏)

470 μF电容在270伏的充电状态开始，并通过100kΩ电阻放电。需要多长时间电容器的电压将下降到一个相对安全的值(30伏或更少)?